2

Obliczanie prostych belek statycznie wyznaczalnych

mechancial engineering meme 7

 

Przypominamy podstawy fizyki i wyznaczamy siły reakcji w podporach.

Do napisania tego posta skłoniło mnie moje doświadczenie jako dydaktyka. Wielokrotnie pomagając w mechanice widziałem, że dla wielu osób statyka sprawiała problem z powodu braku podstaw fizyki. Tutaj postaram się wytłumaczyć idiotoodpornie, co z czego wynika.

Będąc Automatykiem, rozumiem, że wielu ludziom wydawać się może, iż mechanika jest tworem totalnie zbędnym. Przekonacie się ,że tak nie jest. Do dzieła.

Na początku przypomnimy sobie zmory lat szkolnych tj. Zasady Dynamiki Newtona. A mianowicie dwie które będą nam potrzebne w statyce:

Pierwsza zasada brzmi:

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Trzecia zasada:

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało)

Uwidocznijmy te zasady na przykładzie belki:

Zadanie 1: Wyznaczyć reakcje w podporach. 

Belka prosta

 

Rozwiązując to zadanie przyjmujemy, że jeden odcinek na belce to a siła F =100N. Punkt 1 nazywamy jako A, a punkt 11 jako B(a przez to podpory A i B). Ponadto uznajemy podporę  B za przesuwną.

Czysto intuicyjnie… Belka leżąca na podporach na, którą działa siła leży na swoim miejscu. I to właśnie tłumaczy pierwsza z wyżej wymiennych zasad – siły wytwarzane przez podpory równoważą naszą siłę F. W związku z tym po zsumowaniu sił działających w osi y (pionowo) oraz po zsumowaniu sił działających  w osi x (poziomo) otrzymamy zero. A teraz zapiszmy to w języku inżynierów:

\sum F_x = R_{ax} = 0,

\sum F_y = R_{ay} + R_{by} - F = 0

Siła R_{ay} przywiązana  jest w punkcie A i skierowana pionowo do góry. A to dla tego, że stara się zniwelować siłę F. Analogicznie zachowuje się siła R_{by}. Siła R_{ax} jest przywiązana do punktu A i jest skierowana poziomo (równoległa do osi x). Jest ona siła symboliczną ponieważ jej wartość wynosi zero. Spowodowane jest to czym, iż nie ma co równoważyć w kierunku poziomym. Siła R_{bx}  jest równa zeru gdyż punkt B należy do podpory przesuwnej(może się poruszać).

W powstałym układzie równań  mam dwa równania i trzy niewiadome. Czyli brakuje nam jeszcze jednego równania. Uzyskamy je poprzez napisanie równania momentów względem dowolnego punktu belki. Zanim przejdziemy do równia momentów przypomnijmy czym jest moment siły:

\ M = r \times F = rFsin\alpha

Nie będę się zagłębiał w znaczenie magicznego "\times". Nam wystarczy druga postać tego wzoru. Czyli moment powstaje gdy siła i ramie są niezerowe oraz kąt między wektorem siły a ramieniem jest większy od zera (w naszym przypadku zazwuczaj będzie to \frac{pi}{2}).

\sum M_a = 10lR_{by} - 5lF = 0

Powyżej widzimy równanie momentów względem punktu A naszej belki. Skąd ono się wzięło?!

Przeanalizujmy wszystkie siły w układzie. Siła R_{ay} nie wywoła momentu gdyż punkt przyłożenia siły jest punktem względem, którego obliczamy moment – brak ramienia. W przypadku siły R_{ax} jest tak samo (tym bardziej, że jej wartość wynosi zero). Kolejna rozpatrywana siła to F. Siła ta pada pod kątem prostym do naszej belki, czyli \alpha =\frac{pi}{2} a przez to sin\alpha = 1. Nasze ramie to odległość od punktu A do punktu przyłożenia siły. Czyli nasze ramie wynosi 5l zgodnie z założeniami początkowymi. Analogicznie rozpatrujemy moment powstały od siły R_{by}.

Pozostała nam jeszcze kwestia znaków przy poszczególnych momentach. Jest sto sprawa umowna. Jeżeli moment kręci zgodnie ze wskazówkami zegara to przyjmuje się znak - a jeśli przeciwnie to +. Na rysunku niżej pokazana jest konwencja odwrotna. JEST TO KWESTIA UMOWNA.

moms3

 

a) dodatnia wartość momentu siły, b) ujemna wartość momentu siły, c) moment siły równy zeru – brak ramienia,

 

\sum F_x = R_{ax} = 0,

\sum F_y = R_{ay} + R_{by} - F = 0,

\sum M_a = 10lR_{by} - 5lF = 0

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy:

R_{ax} = 0,

R_{by} = 0,5F,

R_{ay} = F-R_{by}=F-0,5F=0,5F,

Rozwiązywanie belek nie jest zagadnieniem skomplikowanym matematycznie. Wystarczy zrozumieć parę reguł. W następnych postach postaram się o bardziej skomplikowane przykłady i pokażę jak sprawdzić wyznaczalność statyczną belki – układu. W końcu inżynier powinien być leniwy.

Radosław Sakowicz

Student Automatyki i Robotyki na Wydziale Mechanicznym Politechniki Białostockiej. Z zamiłowania płetwonurek. Zainteresowania: Programowanie w środowisku Matlab oraz C/C++, elektronika, mechanika

2 Comments